Titles and Abstracts:

Mini-Cursos

Josep Alvarez Montaner

Título: Módulos con una estructura extra

Resumen: Una de las técnicas mas empleadas en Álgebra Conmutativa para estudiar módulos no finitamente generados, como por ejemplo la localización en un elemento o los módulos de cohomología local, es dotarlos con una estructura extra. En este curso estudiaremos estos objetos utilizando la teoría de D-módulos y la teoría de módulos con una acción de Frobenius. Estudiaremos sus generadores cuando los pensamos con esta estructura extra e incidiremos en las diferencias que se presentan dependiendo de la característica del campo base.

Eloísa Grifo

Título: Potencias simbólicas

Resumen: Las potencias simbólicas de un ideal es un tema fundacional en el álgebra conmutativa, las cuales también tienen un papel importante en la geometría algebraica. En el centro de la relación entre el álgebra conmutativa y la geometría algebraica está el Teorema de Nullstellensatz de Hilbert, que nos da una correspondencia entre las variedades algebraicas y los ideales radicales: cada variedad corresponde a los polinomios que si desvanecen en todos los puntos de la variedad. Las potencias simbólicas distinguen entre los polinomios que si desvanecen más y más en los puntos de la variedad.

En este mini-curso, comenzaremos con la descomposición primaria, describiendo las potencias simbólicas desde un punto de vista algebraico, y después desde un punto de vista geométrico. También discutiremos cómo calcular estas potencias y presentaremos algunos problemas abiertos: la (des)igualdad de potencias ordinarias y simbólicas, el problema de encontrar el grado mínimo de un elemento en una potencia simbólica, y el problema de la comparación.
Notas del curso

Mirna Gómez

Título: Equivalencia derecha de gérmenes de funciones C infinito.

Resumen: En este curso, analizaremos cómo herramientas de Algebra Conmutativa nos ayudan a determinar clases de equivalencia de gérmenes de funciones C infinito en varias variables reales, bajo cambios de coordenadas en el origen.
Notas del curso

Charlas

Cristhian Garay

Título: Monoides abelianos en álgebra y geometría

Resumen: Los monoides abelianos son grupos abelianos en los que no necesariamente todo elemento tiene inverso. Un ejemplo importante es el booleano B=({0,1},+,0), en el cual 1+1=1. Los semi-anillos conmutativos se definen de manera similar (anillos conmutativos con 1 en el que no necesariamente todo elemento tiene inverso aditivo). Ejemplos interesantes de semi-anillos son los números naturales N con las operaciones usuales, o el semi-anillo tropical T.

Aunque estos son objetos clásicos, sus propiedades algebraicas y geométricas apenas se han comenzado a explorar recientemente, estudio motivado por su aparición en ramas (también de reciente aparición) de la geometría algebraica, como la logarítmica y la tropical. Asimismo, los monoides forman parte esencial del intento de algebrizar la geometría} de estructuras más generales que los anillos -como los semi-anillos-. En esta plática hablaremos un poco de la geometría de los monoides, y de aplicaciones concretas a la geometría algebraica y la teoría de módulos sobre semi-anillos.
Notas del curso

Jack Jeffries

Título: Neural rings

Resumen: In this talk, we will discuss a combinatorial question coming from biology, and an algebraic technique to try to understand it. The algebraic notion that we will discuss is called "neural rings" or "neural ideals," and has many similarities with Stanley-Reisner ideals. We will discuss the biology question that motivates this construction and give a few basic results on this question.

Manuel González Villa

Título: Singularidades de curvas planas e ideales multiplicadores

Resumen: Repasaremos algunos hechos básicos sobre Singularidades de curvas planas y cómo estos ayudan a entender sus ideales multiplicadores.

Aracely Isais Gómez

Título: Aplicaciones a la teoría de códigos de los números de Betti de una matroide.

Resumen: Dada una matroide M, podemos asociarle un anillo mediante sus circuitos. M posee una resolución libre minimal graduada estándar, así hablaremos de como calcular un invariantes discreto de dicha resolución F conocido como los números de Betti graduados estándar, donde los números de Betti \beta_{ij} son el número de generados de grado j del i-ésimo módulo libre graduado estándar. También hablaremos sobre que la regularidad de Castelnuovo-Mumford que está dada en términos del rango de M y la clausura de la matroide dual de M. Ahora bien, vamos a obtener una relación entre los números de Betti del anillo de circuitos asociado a un código lineal C y el problema de encontrar la jerarquía de pesos generalizados de Hamming de C; por último caracterizaremos a los códigos de peso constante en términos de sus números de Betti.
Notas del curso